POTENCIACION DE NUMEROS RACIONALES

POTENCIA DE EXPONENTE NATURAL
Del mismo modo que en el caso de los números enteros, es posible utilizar potencias de exponente natural para expresar productos de factores racionales iguales entre sí. Veamos un ejemplo:
= - 27/8

POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO
Cuando se tiene una potencia cuyo exponente es un número natural, se opera de la misma manera que en el conjunto de los números enteros. Ahora veremos como se resuelve una potencia cuyo exponente es un número negativo. Veamos un ejemplo resuelto:
a) 
b) 
c) 
Como podemos observar al tener una potencia con el exponente negativo, se debe invertir la base de la potencia y luego se le "saca" el signo menos.
En el último ejemplo, como ves al "dar vuelta" la base 4, como el denominador es 1, queda 1/4.

Potencia de fracciones:

Propiedades

Copia la propiedad con un ejemplo de cada una:

1. Toda potencia a la cero, da 1
2. Toda potencia a la 1 da la misma base

3. Producto de potencias con la misma base:
Se escribe la misma base y se  suman los exponentes

4. División de potencias con la misma base:
Se escribe la misma base y se restan los exponentes

5. Potencia de una potencia:
Se escribe la misma base y se multiplican los exponentes 

6. Producto de potencias con el mismo exponente:
Se multiplican las bases y se deja el mismo exponente

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:
Se dividen las bases y se deja el mismo exponente

 

OBSERVE LOS PROCESOS en los siguientes videos:

1)  Ohttps://youtu.be/mQiYuVeXZxM

2) https://youtu.be/yw1lx9htI2I

EJERCICIO: Resolver aplicando las propiedades

1

2

3

4

5

6

7  8  9

10.

MULTIPLICACION Y DIVISION DE FRACCIONES

MULTIPLICACION DE NUMEROS RACIONALES EN FORMA FRACCIONARIA

El producto entre dos o más números FRACCIONARIOS  es otro número FRACCIONARIO, cuyo numerador y denominador son los productos de los numeradores y denominadores de cada uno de los factores respectivamente, Al final simplificamos cada que sea posible.

OBSERVA EL PROCESO en el siguiente video: https://youtu.be/QAgO78CQ6FQ

 Para operar más sencillamente conviene simplificar. En la multiplicación entre fracciones se puede simplificar cualquier numerador con cualquier denominador.
Si aparecen enteros, les colocamos 1 como denominador.
Si aparecen números mixtos, los pasamos a fracciones. 
Veamos unos ejemplos:

EJERCICION 1: 
Realiza las siguientes multiplicaciones:  
DIVISION DE NUMEROS RACIONALES EN FORMA FRACCIONARIA
En la división de fracciones usaremos el concepto de INVERSO O RECIPROCO DE UNA FRACCION.
LA MULTIPLICACION DE UN PAR DE INVERSOS ES IGUAL A 1   
EJEMPLOS: 
El inverso de -2/5 es -5/2 porque -2/5 x -5/2 = 10/10 = 1 
El inverso de 3/4 es 4/3 porque 3/4 x 4/3 = 12/12 = 1
El inverso de 3 = 3/1 es 1/3 porque 3/1 x 1/3 = 3/3 = 1
El inverso de -1/4 es -4/1 porque -1/4 x -4/1 = 4/4 = 1

Para dividir dos números FRACCIONARIOS, se multiplica al dividendo (primera fracción) por el inverso del divisor (segunda fracción), es decir a la primera fracción se la multiplica por la segunda fracción invertida. 

OBSERVA EL PROCESO en el siguiente video: https://youtu.be/od-OrEqF6rs

Veamos unos ejemplos:

(-15/8) : 3/10 = (-15/ 8) x (10/3) = - 150/24 = - 50/8 , Se simplificó (:3)
 La división se pasó a multiplicación, multiplicando por el inverso de 3/10 
 
EJERCICIO 2: Realiza las siguientes divisiones:

No te olvides, que aquí también se respeta la regla de los signos y si es posible hay que simplificar la fracción obtenida.
   
EJERCICIO 3:

Resuelve y expresa el resultado como fracción irreducible:

PRODUCTOS:

a)  3/5 . (-10/9) . (-3/20). (-5/2)
b)  (-12/7). 21/24. 4/3
c)  1/2 . 1/3 . 3/4 . (-72) 
d)  (-5) . (-12/25) . (-10/9)
e)  2.(-5/4).15/8
f)  2 y 2/3 x -1 y 5/6

COCIENTES:

g)  3/8 : (-9/16)   

h)  4 : 16/7
i)   (-8/21) : (-4/7
j)  2 y 2/3 : (-1 y 5/6)

EJERCICIO 4: DE PRACTICA (operaciones con fracciones)

15. Juan necesita 8 tablas de madera de 3 ¼ pies de largo. ¿Cuánta tabla en total necesita comprar?

16. El marcador de gasolina muestra que el tanque esta 1/3 lleno. Si el tanque tiene una capacidad de 24 galones, ¿Con cuántos galones más se llena el tanque?

17. Maricela tiene 14 1/8 metros de tela para hacer cortinass, si utiliza 3/4 de metro para hacer cada cortina, ¿cuánta tela le sobra?

18. Una carnicería hizo un pedido e 15 ¾ libras de carne, si solo le surtieron 1/3 parte del pedido, ¿Cuantas libras de carne recibieron?

19.  Durante la semana, Luisa camino 1 y 3/4 Km, 2 y 1/5 Km, y 3 y 7/10 Km. ¿Cuántos Kilómetros camino en la semana? ¿Cuántos metros camino en la semana?

20. Marcos compro 25 metros cuadrado de alfombra, si la recamara de su hija tiene una superficie de 23 1/3 metros cuadrados, ¿Cuánta m2 de alfombra sobra?

PROBLEMAS CON SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES

PROBLEMAS DE APLICACION CON SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES

EJEMPLO:

1)  Alberto pinta 2/3 de una pared el lunes, la cuarta parte de la pared el martes y el resto de la pared el miercoles.
a) Cuántas partes pintó entre el lunes y el martes?
b) Cuántas partes quedaron para pintar el miércoles?
c) Si la pared tiene una superficie de 2400 M2, Cuánto pintó cada día?

SOLUCIÓN:
a)  Entre el lunes y martes pintó: 2/3 + 1/4 , común denominador = mcm(3, 4) = 12
Entonces pintó: 2/3 + 1/4 = (8 + 3)/12 = 11/12 de la pared
b)  La pared completa es 1, entonces,  falta por pintar: 1 - 11/12 = 12/12 - 11/12 = 1/12 de la pared.
  Quedó para pintar el miercoles, 1/12 de la pared.
c) Pintó el lunes: 2/3 x2400 = 2x2400/3 = 4800/3 = 1600 M2
 Pintó el matres: 1/4 x2400 = 1x2400/4 = 2400/4 = 600 M2
Pintó el miércoles: 1/12 x2400 = 1x2400/12 = 2400/12 = 200 M2.

SITUACIONES PROBLEMA CUYA SOLUCION REQUIERE DE SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES.

EJERCICIO: RESOLVER EN EL CUADERNO.

1. Un obrero realiza 3/8 de un trabajo el lunes y 4/8 de del mismo trabajo el martes. ¿qué fracción del trabajo realizó en los dos días? ¿Que parte del trabajo falta por realizar?
2. Javier compró 2/5 de libra de manzana y 1/3 de libra de pera. ¿Cuántas libras de fruta en total compró Javier?
3. Samuel vió 2/4 de una película en la mañana y 1/4 en la tarde ¿qué fracción de película vio Samuel?
4. Santiago necesita 8/5 de botella de alcohol para hacer un experimento. Si tiene 5/4 de botella, ¿qué fracción de alcohol le hace falta?
5. Leonor cosió 3/14 de un vestido el domingo, 2/7 el lunes Y 5/21 el martes,  ¿qué fracción de vestido cosió Leonor?. Cuántas partes del vestido falta por coser?
6. Lorena ha bebido 3/4 de litro de leche y su hermano Lucas ha bebido 2/4 de litro más que Lorena. ¿qué cantidad de leche ha bebido Lucas? ¿Cuánto han bebido entre los dos?
7. Andrés y sus amigos han comido 7/9 de pizza de pollo y 5/6 de pizza mexicana. ¿qué fracción de pizza mexicana más que de pizza de pollo  han comido? Cuánta Pizza comieron?
8. Alejandro debe recorrer 85/25 de kilómetro durante una competencia. Si sólo recorrió 13/8, ¿cuántas partes de  kilómetro le faltaron por recorrer? Esa distancia en metros cuánto es?
9. La señora Moreno tiene 2/3 de libra de mantequilla para una receta. Si debe comprar 4/5 de libra más, ¿Cuántas libras de mantequilla usará en su receta?
10. Marcela consumió 2/9 de litro de gaseosa en la mañana y 3/5 de litro en la tarde. ¿Cuántos litros debe consumir en la noche si debe acabar la gaseosa?
11. Camilo pintó 3/4 de una hoja de color rojo y 1/8 de la misma con color verde. ¿qué fracción de la hoja quedó coloreada?
12. Si una torta vale $24.000 pesos. ¿Cuánto cuestan 3/4de torta?

OPERACIONES EN LOS RACIONALES

SUMA Y RESTA DE RACIONALES

CASO 1: SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HOMOGENEAS ( Igual denominador)
Para sumar fracciones con el mismo denominador se suman los numeradores aplicando las reglas de la suma y se deja el mismo denominador. La fracción resultado se simplifica cada que sea posible.
Si aparecen números mixtos, se pasan a fracciones impropias.

Observemos el proceso en el siguiente video:https://youtu.be/x3k-O_jtxoU

EJEMPLOS:
1)

2)  2/9 - 5/9 + 4/9 - 7/9 = ( 2 + 4 - 5 - 7)/9 = (6 - 12)/9 = -6/9 = -2/3, SE SIMPLIFICO (:3)
3)  -3/8 - 5/8 - 2/8  = -(3+5+2)/8 = -10/8 = -5/4, SE SIMPLIFICO (:2) 
4)  2 y 2/3 - 4 y 1/3 = 8/3 - 13/3 =(8 - 13)/3 = -5/3
     porque 2 y 2/3 = (2x3 + 2)/3 = 8/3 y -4 y 1/3 = -(4x3 +1)/3 = -13/3

EJERCICIO 1: Resuelve

1)	4/6 + 5/6 + 2/6 =
2)	9/7 - 3/7 - 2/7 =
3)	5/4 + 7/4 + 9/4 =
4)	9/8 + 3/8 + 2/8=
5)	1/2 + 4/2 + 9/2 =
6)	8/7 - 1/7 - 2/7 =

7) 3  2/5 - 4  1/5 + 1  3/5 - 2  4/5
8) 2  3/4 - 3  1/4 + 1  2/4 - 1  3/4 
9) Represente gráficamente: 7/18 + 4/18 + 5/18
10) Si resolví 3 octavas partes de la tarea, cuántas partes falta por resolver?. Si la tarea tiene 24 problemas, cuántos problemas falta por resolver?

CASO 2: SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HETEROGENEAS ( Diferente cenominador)
Se transforman en homogéneas hallando un común denominador mediante el MCM de los denominadores, este denominador común se divide entre cada denominador y se multiplica respectivamente por cada numerador.

Observemos el proceso en el siguiente video: https://youtu.be/603czQ8lQxE

Observe el proceso con NUMEROS MIXTOS en el siguiente video: https://youtu.be/BMy-6TadOLI

  

EJEMPLOS:

1)  

 

2)  2/15 - 7/30 + 13/60
3)  3/14 - 5/28 +   2/30 - 9/120  

Inicialmente hallamos los común denominadores usando el mcm para cada caso así:

Para el ejemplo 2
2)  2/15 - 7/30 + 13/60, el común denominador es 60. Dividimos 60 entre cada denominador y lo multiplicamos respectivamente por su numerador, así
2/15 = (60:15x2)/60 = (4X2)/60 = 8/60
- 7/30 = - (60:30x7)/60 = (-2X7)/60 = -14/60  el

13/60 = (60:60x13)/60 = (1X13)60 = 13/60

Entonces

2/15 - 7/30 + 13/60 = 8/60 - 14/60 + 13/60 = (8+13-14)/60 = (21 - 14)/60 = 7/60

Para el ejemplo 3

3)  3/14 - 5/28 +   2/30 - 9/120, el común denominador es 840. Dividimos 840 entre cada denominador y lo multiplicamos respectivamente por su numerador, así 

3/14 = 840:14 x3/840 = 180/840

-5/28 = -840:28 x5/840 = -150/840

2/30 = 840:30 x2/840 = 56/840

-9/20 = -840:20 x9/840 = -378/840

Entonces

3/14 - 5/28 + 2/30 - 9/120 = (180 - 150 +56 - 378)/840 = (236 -528)/840 = -292/840 = - 73/210. 

Se simplificó (:4)

4)  Resolver

5)  Si aparecen números enteros, les colocamosel 1 como denominador, así:
2 - 3/4 + 5/6 - 2/3,  el común denominador  es el mcm(4, 6, 3) = 12
2/1 - 3/4 + 5/6 - 2/3 = (24 -9 + 10 - 8)/12 = (34 - 17)/12 = 17/12   

EJERCICIO 2: Resolver:

1)  8/3 + 3/2 - 6/4 = 2) 9/5 - 2/4 + 3/2 = 3) 3/5 + 7/3 + 6/4= 4) 1  1/2 + 2  2/3 - 4  3/5 = 5)  5/8 - 3/4 + 3/2 - 5/12 6)  2/9 - 3/4 + 7/18 - 11/12
7)  7/20 - 4/15 + 2/3 - 7/30
8)  1 - 2  5/18 + 3  1/6 - 4  2/9
9)  2  5/9 - 1  2/3 + 3  2/27 - 4  1/9
10) Anita resuelve las 2 quintas partes de la tarea el lunes, la tercera parte el martes y la cuarta parte el miércoles. Cuántas partes de la tarea ha resuelto? Cuántas partes le faltan?. Si son 120 problemas, Cuántos resuelve cada día?

POLIGONOS.

UN POLÍGONO es una figura geométrica cerrada cuyos lados son segmentos.
Todos los polígonos tienen los siguientes ELEMENTOS:

lado: es cada uno de los segmentos que delimita la figura;
                             
vértice: punto de intersección de los lados;
                           
diagonal: segmento que une dos vértices no consecutivos;
                             
ángulo interior: es el ángulo que forman dos lados consecutivos;
                                      
ángulo exterior: ángulo adyacente al ángulo interior.
                                     

PROPIEDADES DE LOS PLIGONOS
Observe las propiedades en el siguiente video https://youtu.be/NFEHIIVnyug y analice sus ejemplos:

Ángulo interior

El ángulo interior de un polígono regular de "n" lados se calcula con la fórmula:

(n-2) × 180° / n

Por lo tanto la suma de los ángulos internos (Si) de un polígono está dada por la fórmula

Si = (n-2) × 180° 

Por ejemplo el ángulo interior de un octágono (8 lados) es:

(8-2) × 180° / 8 = 6×180°/8 = 135°

Y el de un cuadrado es (4-2) × 180° / 4 = 2×180°/4 = 90°

Ángulo exterior Los ángulos exterior e interior se miden sobre la misma línea, así que suman 180°. Por lo tanto el ángulo exterior es simplemente 180° - ángulo interior El ángulo interior de este octágono es 135°, así que el ángulo exterior es 180°-135° = 45° El ángulo interior de un hexágono es 120°, así que el ángulo exterior es 180°-120° = 60°

Diagonales Todos los polígonos (menos los triángulos) tienen diagonales (líneas que van de un vértice a otro, pero que no son lados). El número de diagonales que salen de cada vértice en cualquie polígono es (n - 3) El número Total de diagonales de un polígon está dado  por la fórmula  n(n - 3) / 2. Ejemplos: un cuadrado tiene 4(4-3)/2 = 4×1/2 = 2 diagonales un octágono tiene 8(8-3)/2 = 8×5/2 = 20 diagonales (Nota: esto vale para polígonos regulares e irregulares)

1.  AUTOEVALUACION: En el siguiente enlace aparece un cuestionario de selección múltiple para que compruebes lo que aprendiste de los polígonos y sus propiedades.
http://www.vitutor.com/geo/eso/pl_1e.html

2.  Para el siguiente ejercicio, Si se refiere a la suma de los ángulos internos ((n-2) × 180°) y Se se refiere a la suma de los ángulos exteriores.

CLASES DE POLÍGONOS 
a)  Se puede clasificar en cóncavo y convexo.
Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores de 180º y decimos que es un polígono cóncavo si al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180º.
                                                                                         
b)  Se puede clasificar en regular e irregular.
Si las medidas de todos los lados y las amplitudes de sus ángulos son iguales decimos que el polígono es regular.
Si las medidas de todos los lados y las amplitudes de sus ángulos son desiguales decimos que el polígono es irregular. 
                                                                                                             
 

Los polígonos reciben un nombre particular según la cantidad de segmentos que lo forman.

N° de lados	Nombre	Polígono
3	Triángulo
4	Cuadrilátero
5	Pentágono
6	Hexágono
7	Heptágono
8	Octógono
9	Eneágono
10	Decágono
11	Undecágono
12	Dodecágono
15	Pentadecágono
20	Icoságono

CONSTRUCCION DE POLIGONOS REGULARES

Se dibujan INSCRITOS en la circunferencia ( sus vértices son puntos de la circunferencia) :
a) Usando el ángulo central, cuya medida es igual a DIVIDIR 360°entre el número de lados. Así para un PENTAGONO, su ángulo central es 360:5 = 72° 
El ángulo central de un polígono tiene la misma medida que su ángulo exterior.  

OBSERVE EL PPROCESO en en siguiente vídeo
https://youtu.be/UwcoB_gMo6Q 

b)  Usando el METODO GENERAL PARA CONSTRUIR cualquier polígono.

OBSERVE EL PPROCESO en en siguiente video
https://youtu.be/_0vOjP5Wfm4

 
PLOIGONOS ESTRELLADOS:

Se dibujan trazando las diagonales saltando un vértice (orden 2), saltando 2 vértices (orden 3), saltando 3 vértices (orden 4) y así sucesivamente. Si se repite una diagonal, se llama polígono estrellado falso, y se continúa el proceso con otro vértice libre hasta completar la estrella. 

OBSERVA EL PROCESO en el siguiente vídeo https://youtu.be/yTEnf4401No 

MODELOS DECORATIVOS a partir de divisiones de la circunferencia en partes iguales:
Estos modelos se van formando a través de nuestra imaginación o creatividad y nuestro estado de ánimo (Mandalas https://youtu.be/3dJnNE4f3Ko ). 
Estos son algunos ejemplos. Animate a construir algunos (despierta tu creatividad).  
  


EJERCICIOS: Construir

1.  4 polígonos regulares usando su ángulo central respectivo.
2.  Los 4 polígonos anteriores usando el método general.
3. Un Hexágono de lado 4cm, un Octágono de lado 3 cm, Un pentágono de lado 4 cm. Observe el proceso en el video https://youtu.be/UwcoB_gMo6Q
4.  4 polígonos estrelladaos de 5, 6, 7, 8, 10 puntas de orden 2 respectivamente y diga cuáles resultaron falsos.
5.  Despierta tu creatividad: Dibuja un modelo decorativo componiendo circunferencias.
6.  Haz tu propio mandala.