PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION Y DIVISION DE ENTEROS

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE ENTEROS.

1.  INTERNA O CLAUSURATIVA:

 El resultado de multiplicar dos números enteros a y b es otro número entero c.

a · b = c siempre es entero 
EJEMPLO: 2 · (−5) = − 10  es entero.

2.  ASOCIATIVA: 

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números enteros cualesquiera, se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

EJEMPLO: 2.3.(−5) = (2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]

                                               6 · (−5) = 2 · (−15)

                                                  −30 = −30 

3. CONMUTATIVA:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

EJEMPLO: 2 · (−5) = (−5) · 2

                            -10 = -10 

4. MODULATIVA:

El 1 es el elemento neutro o idéntico de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a · 1 = a 

EJEMPLO: (−5) · 1 = (−5) 

5. DISTRIBUTIVA:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

EJEMPLO: (−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5 = (−6) + (−10) = −16

                  − 3.(8 − 2) = −3X8 + −3X−2 = −24 + 6 = −18
  
6. ANULATIVA:  

La multipicación por cero siempre da cero. 5.(0) = 0,       0.(−18) = 0
     
7. SACAR FACTOR COMUN:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c) 

EJEMPLO: (−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5) = − 2.(8) = − 16
  
PROPIEDADES DE LA DIVISION DE ENTEROS.  

1. No es una operación interna:

El resultado de dividir dos números enteros no siempre es otro número entero.

(−2) : 6 es un número decimal, no pertenece a los enteros. Solamente podemos hacer divisiones exactas.

2. No es Conmutativo:

a : b ≠ b : a

6 : (−2) ≠ (−2) : 6

3.  Modulativa: 

Unicamente si el 1 es divisor. 
6 : 1 = 6                                 − 5 : 1 = − 5

REPASA LAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION EN EL SIGUIENTE VIDEO:

https://youtu.be/pcgQTfjKljU 

EJERCICIO: Copia en tu cuaderno las propiedades de la multiplicación con 2 ejemplos de cada una.

 

MULTIPLICACION Y DIVISION DE NUMEROS ENTEROS

PRODUCTOS Y COCIENTES DE NUMEROS ENTEROS

RECUERDA:
Los números que se MULTIPLICAN se llaman FACTORES y su resultado se llama PRODUCTO, así:
A x B = C; A y B son los FACTORES y c es PRODUCTO.
5 x 6 = 30; 5 y 6 son los FACTORES y 30 es el PRODUCTO

En la DIVISION EXACTA,  A : B = C; A se llama DIVIDENDO, B se llama DIVISOR y el resulatdo C se llama COCIENTE y se cumple que C X B = A
30 : 5 = 6 ; DIVIDENDO = 30, DICVISOR = 5, COCIENTE = 6 porque 6 x 5 = 30

LA MULTIPLICACION Y LA DIVISION SON OPERACIONES INVERSAS

LEY DE SIGNOS:

Para agilizar las operaciones de multiplicación y división de números enteros se utiliza la regla de los signos:
Multiplicación                                              División
(+) ⋅(+) = +                                         (+) : (+) = +
(−) ⋅(−) = +                                         (−) : (−) = +
(+) ⋅(−) = −                                         (+) : (−) = −
(−) ⋅(+) = −                                         (−) : (+) = −

OBSERVA EL SIGUIENTE VIDEO: https://youtu.be/oGoOsJRR0LU

  Por ejemplo: 

a)    (+5) ⋅ (−3) = −15	b)    (−5) ⋅ (−3) = +15	c)    (+5) ⋅ (+3) = +15	d)     5 ⋅ 3 = 15
e)    (+20) : (−4) = −5	f)    (−20) : (−4) = +5	g)    (+20) : (+4) = +5	h)    20 : 4 = 5

 EJERCICIOS:

1.  Calcula las operaciones aplicando la regla de los signos.

a)  (+12) ⋅ (−3) = 
b) (−1) ⋅ (−18) = 
c) (−20) : (−10) = 
d) (−77) : (−11) = 
e) (+10) ⋅ (+4) = 
g) (+80) : (−8) = 
h) (−9) ⋅ (+8) = 

2.  Completa con los números enteros correspondientes
 

a)  (+9) ⋅    = −36
b) (−7) ⋅     = +21
c)    ⋅ (−8) = −40
d)  ⋅ (+10) = −100
e) (−30) ⋅    = +30
f) (+6) ⋅  = 0
g) (+42) :  = −7
h) (−20) :  = −20
i) (−8) :      = +1
j)  : (−6) = +5
k)     : (−9) = +6
l) (+9) :  = −9

 

ESTADISTICA: TERMINOS ESTADISTICOS

TERMINOS ESTADISTICOS.

ANALIZA CONCEPTOS BASICOS DE ESTADISTICA EN EL SIGUIENTE VIDEO:

https://youtu.be/JkAW6EwBEPs 

Definición de Estadística

La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:

° Recogida de datos.

° Organización y representación de datos.

° Análisis de datos.

° Obtención de conclusiones.

Conceptos de Estadística

1.  Población

Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.

EJEMPLO: Estudiantes de secundaria de La Normal Superior Farallones de Cali.

2.  Individuo

Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población.

3.  Muestra

Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población.

EJEMPLO: 10 estudiantes seleccionados al azar de cada curso de La Normal Superior Farallones de Cali. 

4.  Valor

Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.

5.  Dato

Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.

6. Variable

Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población.

EJEMPLO: Color preferido,  número de hermanos, estatura de un grupo de niños, estado civil.

7.  Tipos de variable estadísticas

A)  Variable cualitativa

Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:

°  Variable cualitativa nominal

Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden.

EJEMPLO: El estado civil, con las siguientes VALORES O CATEGORÍAS: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

°  Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa

Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas, en las que existe un orden.

EJEMPLOS:

La nota en un examen:Bajo, aceptable, alto, superior

Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, ...

Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

B)  Variable cuantitativa

Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

°  Variable discreta

Una variable discreta es aquella que toma  únicamente valores enteros, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Sus valores Reultan de contar elementos.

EJEMPLO:

El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

°  Variable continua

Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos enteros consecutivos, es decir, admite decimales. Sus valores Resultan de hacer medidas

EJEMPLOS:

La estatura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.en metros

En la práctica medimos la estatura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.

RECUERDA LOS ANTERIORES CONCEPTOS EN EL SIGUIENTE VIDEO:

https://youtu.be/Z8zQiX-CH-M

 
  EJERCICIOS: REALIZA EN TU CUADERNO.

1. COPIA los anteriores conceptos estadísticos en tu cuaderno con dos ejemplos para cada uno. 
2. Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas:
   
   a)  Comida Favorita.
   b)  Profesión que te gusta.
   c)  Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.
   d)  Número de alumnos de tu Instituto.
   e)  El color de los ojos de tus compañeros de clase.
   f)  Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.
   
   
3. De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas. 
   
   
   a)  Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.
   b)  Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.
   c)  Longitud de 20 varillas de acero.
   d)  El diámetro de las ruedas de varios coches.
   e)  Número de hijos de 50 familias.
   f)  Censo anual de los colombianos.
    
    4. Clasificar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas o continuas.
   
   a)  La nacionalidad de una persona.
   b)  Tiempo que dura una competencia de atletismo.
   c)  Número de libros en un estante de librería.
   d)  Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.
   e)  El peso de un grupo de personas .
   f)  El área de las distintas baldosas de un edificio.

ANGULOS Y SU CLASIFICACION

GEOMETRIA.
ANGULOS Y SU CLASIFICACION
Copia en tu cuaderno los conceptos y dibujos correspondientes a este tema del enlace http://matematicasies.com/-02-Angulos-

En el siguiente video afianzarás el concepto de ángulo y como se mide con el transportador https://youtu.be/XgNBHWBMTs4

En el siguiente video aprenderás a usar el TRANSPORTADOR:

https://youtu.be/V7R2Yf00uBs

En el siguiente video recordarás la clasificación de ángulos: https://youtu.be/ENLass_jwAA

EJERCICIO:

1) Dibuja e Indica si los siguientes ángulos son agudos, rectos u  obtusos:

a) 27°               b) 95°      c) 145°      d) 45°
e) 90°               f) 270°

2) Dibuja los pares de ángulos consecutivos y Comprueba si son  ángulos complementarios:

a) 34° y 56°         c) 45° y 55°
b) 89° y 11°         d) 23° y 67°

3) Dibuja pares de ángulos consecutivos y Comprueba si son  ángulos suplementarios:

a) 134° y 46°        c) 84° y 96°
b) 96° y 45°         d) 73° y 17°

4) Si dos ángulos son complementarios, ¿cómo deben ser ambos, agudos u obtusos?
5) ¿Pueden dos ángulos agudos ser suplementarios? ¿Y dos obtusos?

6) Indica el valor del ángulo suplementario al indicado.

a) 12°               d) 145°
b) 45°               e) 13°
c) 123°              f) 90°

7) Indica el valor del ángulo complementario al indicado.

a) 12°               d) 57°
b) 35°               e) 66°
c) 41°               f) 1°

8) Suma los siguientes pares de ángulos en forma vertical:

a) 92º35'14'' y 27º47'32''
b) 32º35'14'' y 127º27'39''
c) 132º45'28'' y 76º49'57''
d) 82º49'46'' y 12º47'35''
e) 2º25'19'' y 47º53'38''

PROPIEDADES DE LA SUMA DE ENTEROS.

PROPIEDADES DE LA SUMA DE ENTEROS.

La suma en los enteros cumple las siguientes propiedades:


1. INTERNA O CLAUSURATIVA:

El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.

a , b son enteros, entonces a + b = c siempre es entero                             
Ejemplo: 3 + (−5) =  − 2 es entero

2. ASOCIATIVA:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)                    Ejemplo:(2 + 3) + (−5) = 2 + [3 + (−5)]

                                                                                        5 − 5 = 2 + (−2)

                                                                                              0 = 0

3. CONMUTATIVA:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a                                      Ejemplo: 2 + (−5) = (−5) + 2

                                                                                     −3 = −3

4. ELEMENTO NEUTRO O MODULATIVA::

El 0 es el elemento neutro o módulo o idéntico de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a                                             Ejemplo: (−5) + 0 = −5

5. ELEMENTO OPUESTO O INVERTIVA:

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

a + (-a) = 0                                         Ejemplo: 5 + (−5) = 0 

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

−(−5) = 5

Resta de números enteros

La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a − b = a + (−b)                                  Ejemplo: 7  − 5 =7 + (−5) = +2

                                                            Ejemplo: −18 − (−15) = −18 + 15 = −3

PROPIEDADES DE LA RESTA DE NUMEROS ENTEROS:

1. INTERNA O CLAUSURATIVA:

La resta dos números enteros es otro número entero.

a − b                                              Ejemplo:10 − (−5)  

2. NO ES CONMUTATIVA:

a − b ≠ b − a                                        Ejemplo: 5 − 2 ≠ 2 − 5 
                                                                                    3 ≠ − 3      

 REPASA LAS PROPIEDADES EN EL SIGUIENTE VIDEO:

EJERCICIO CON LAS PROPIEDADES DE LA SUMA:

Escribe estas propiedades en tu cuaderno con 2 ejemplos de cada una.