DENSIDAD Y ORDEN EN LOS RACIONALES

1. DENSIDAD

Entre dos racionales dados, existen infinitos racionales.

EJEMPLO 1:Escriba 4 racionales entre 2/5 y 5/6.
SOLUCION: Recuerda que una fracción indica una división, entonces 
2/5 = 0,4 y 5/6 = 0,8 aproximadamente 
Vamos colocando racionales ordenadamente ENTRE 0,4 y 0,8 así:
0,4  0,5  0,6  0,7  0,8. Hemos colocado 3 y nos piden 4. Repetimos el proceso con 0,40 y 0,80, así:
0,40  0,45  0,50  0,60  0,70  0,80. Ya tenemos 4 racionales.
Ahora estos decimales los regresamos a fracciones irreducibles (SIMPLIFICANDO), así:
0,40 = 2/5   0,45 = 45/100 = 9/20   0,50 = 1/2  0,60 = 60/100 = 3/5  0,70 = 7/10  0,80 = 5/6

RESPUESTA: 2/5  9/20  1/2  3/5  7/10  5/6

EJEMPLO 2: Escriba 5 racionales entre 0,7 y 0,8
SOLUCION: Parece que no existieran, pero 0,7 = 0,70 y 0,8 = 0,80
     
Ahora vamos colocando decimales ordenadamente entre 0,7 y 0,8 así:
0,70  0,71  0,75,  0,76  0,77  0,78  0,80 y ya obtuvimos los 5 racionales que nos pidieron.

RESPUESTA: 0,7  0,71  0,75  0,76  0,77  0,78  0,8

EJERCICIO 1: OBTENER   
   
a)  5 racionales entre 2 y 3.
b)  5 racionales entre 0,3 y 0,4.
c)  5 racionales 3/4 y 5/4.
d)  5 racionales entre 3/10 y 1/2 

2. ORDEN EN LOS RACIONALES.

Existen diversas maneras de establecer el orden de dos o más fracciones. A continuación mostraremos alguna de ellas:

ORDEN CON FRACCIONES DE IGUAL DENOMINADOR.

De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador.

Por ejemplo: 3/5 < 4/5  pues 3 < 4

ORDENAR DE MENOR A MAYOR: 5/6,  3/6,  7/6,  1/6,  4/6

RESPUESTA: _____________________________________

 

ORDEN CON FRACCIONES DE IGUAL NUMERADOR.
 

De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador.

Por ejemplo: 3/7 < 3/4 pues 7 > 4

ORDENAR DE MAYOR A MENOR: 3/14,  7/14,  5/14,  9/14,  11/14
RESPUESTA:_____________________________________________ 

ORDEN CON FRACCIONES DE DIFERENTE DENOMINADOR.

De dos fracciones que tienen distinto denominador, se debe buscar una fracción equivalente a cada una de ellas cuyos denominadores sean iguales ( SE HALLA UN COMUN DENOMINADOR CON EL MCM ENTRE ELLOS), o pasarlas a número decimal dividiendo.
  
EJEMPLO: ¿Cuál de eestas fracciones es mayor, 5/6 ó 7/9?
a) Como dijimos, una manera es buscar fracciones equivalentes a las dadas, con igual denominador.
Entonces mcm(6, 9) = 18, amplificamos a 5/6 por 3 y a 7/9 por 2
Entonces 5/6 = 15/18 y 7/9 = 14/18, ya quedaron con igual denominador
Entonces 15/18 > 14/18 y en consecuencia 5/6 > 7/9. 

b) Otra manera es expresar las fracciones como números decimales haciendo la división, así:
5/6 = 0,8333... y 7/9 = 0,7777... Se observa que 0,8333 > 0,7777 entonces  5/6 > 7/9

c) También se puede establecer el orden con el producto cruzado, así:
5/6 > 7/9 porque 5x9 = 45 > 6x7 = 42 y 45 > 42
      
3/7  <  5/6 porque 3x6 =18 < 7x5 = 35 y 18 < 35.

EJERCICIO 2: ESTABLECER EL ORDEN ENTRE LOS PARES DE FRACCIONES DADAS. TE PUEDES AYUDAR CON EL PRODUCTO CRUZADO. (< , >  Ó = ).

a)  3/7____-2/5  Porque ________________
b)  1 y 3/4____1 y 3/5 Porque__________________
c)  -1/2____- 3/2 Porque______________________
d)  12/13____15/16 Porque____________________
e)  5/9____3/7 Porque________________________
f)  7/5____9/4 Porque_________________________
g)  12/7____11/6 Porque______________________
h)  40/9____36/5 Porque______________________
i)  8/11____7/9 Porque________________________ 

3. COMPARACION DE NUMEROS DECIMALES  

Para comparar dos expresiones decimales, necesitamos comparar las cifra de cada número en el mismo valor posicional (décimos con décimos, centésimos con centésimos, etc.), comenzando comparando la parte entera y luego las cifras decimales.
Por ejemplo:
Para comparar 0,04 y 0,016, comenzamos con la parte entera: 0,04 y 0,016 ambos tienen cero unidades.
Seguimos con los DÉCIMOS: Ambos tienen cero décimos.
Luego con CENTÉSIMOS: 0,04 tiene cuatro centésimos y 0,016 tiene un centésimo.
Por lo tanto,  0,04 es mayor que 0,016 (0,04 > 0,016).

Otra manera de compararlos es igualar la cantidad de cifras cdecimales agregando ceros y despúes, sólo miramos las partes decimales y comparamos. 

Entonces 0,04 = 0,040 > 0,016 porque 40 > 16

Por ejemplo  ¿Cuál es mayor 6,007 ó 6,02?
Hacemos que ambos números tengan la misma cantidad de cifras decimales agregando un cero al final de 6,02, convirtiéndolo en 6,020.
Ahora podemos ver claramente, comparando 7 milésimas con 20 milésimas, que 6,007 < 6,020.

4. ORDEN ASCENDENTE O CRECIENTE DE NUMEROS RACIONALES.

Este orden es de MENOR A MAYOR 
Observa el proceso a seguir en el siguiente video: https://youtu.be/14uayNHblxM

5. ORDEN DESCENDENTE O DECRECIENTE DE NUMEROS RACIONALES.

ESTE ORDEN ES DE MAYOR A MENOR


Observa el proceso a seguir en el siguiente video: https://youtu.be/kTmvME9DK2M

EJEMPLO : ORDENAR EN FORMA ASCENDENTE O CRECIENTE (de menor a mayor): 2/3, 3/5, 5/6 y 7/10.

Se puede realizar de dos formas:

a) Hallando fracciones equivalentes con igual denominador como se explica en el video:
Entonces: mcm( 3, 5, 6, 10) = 30
Las fracciones equivalentes respectivamente ( AMPLIFICANDO POR 10, X6, X 5, X3) serían 
2/3 X10 = 20/30, 3/5 X6 = 18/30, 5/6 X5 = 25/30, 7/10 X3= 21/30
AHORA SI, ORDENAMOS DE MENOR A MAYOR: 18/30,  20/30,  21/30,  25/30

RESPUESTA: 3/5,  2/3,  7/10,  5/6.

b) Haciendo las divisiones respectivas 
2/3 = 0,67   3/5 = 0,60   5/6 = 0,83   7/10 = 0,70
AHORA ORDENAMOS DE MENOR A MAYOR: 0,60  0,67  0,70  0,83
RESPUESTA: 3/5,  2/3,  7/10,  5/6 
     
EJERCICIO 3. Ordenar las siguientes fracciones a) hallando mcm y b) haciendo las divisiones:

a) 5/8, 3/4, 7/12, 5/6 en forma descendente o decreciente ( de mayor a menor)
b)  3/5,  4/3,  5/4,  7/6 en forma ascendente.
c)  3/4,  5/9,  5/6,  2/3 en forma descendente.
d)  7/12,  2/3,  4/9,  3/4 en forma ascendente.